Аритметични операции в позиционни бройни системи

Аритметичните операции във всички позиционни бройни системи се извършват по едни и същи добре известни правила.

Допълнение.Помислете за събирането на числа в двоичната бройна система. Базира се на таблицата за добавяне на едноцифрени двоични числа:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Важно е да се обърне внимание на факта, че при добавяне на две единици битът препълва и се получава прехвърляне към най-високия бит. Препълване възниква, когато стойността на числото в него стане равна или по-голяма от основата.

Добавянето на многоцифрени двоични числа става в съответствие с горната таблица за добавяне, като се вземат предвид възможните прехвърляния от по-ниските цифри към по-високите. Като пример, нека добавим двоичните числа 110 2 и 11 2 в колона:

Нека проверим правилността на изчисленията чрез добавяне в десетичната бройна система. Нека преобразуваме двоичните числа в десетичната бройна система и след това да ги добавим:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Сега превеждаме резултата от двоично събиране в десетично число:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10 .

Сравнете резултатите - добавянето е правилно.

Изваждане.Помислете за изваждането на двоични числа. Базира се на таблица за изваждане на едноцифрени двоични числа. При изваждане от по-малко число (0) на по-голямо (1) се заема от най-високия ред. В таблицата заемът е обозначен с 1 с ред:

Умножение.Умножението се основава на таблицата за умножение на едноцифрени двоични числа:

дивизия.Операцията деление се извършва по алгоритъм, подобен на алгоритъма на операция деление в десетичната бройна система. Като пример, нека разделим двоичното число 110 2 на 11 2:

За да извършите аритметични операции с числа, изразени в различни бройни системи, първо трябва да ги преведете в една и съща система.

Задачи

1.22. Извършвайте събиране, изваждане, умножение и деление на двоични числа 1010 2 и 10 2 и проверете правилността на аритметичните операции с помощта на електронен калкулатор.

1.23. Съберете осмични числа: 5 8 и 4 8 , 17 8 и 41 8 .

1.24. Извадете шестнадесетични числа: F 16 и A 16, 41 16 и 17 16.

1.25. Добавете числата: 178 и 1716, 418 и 4116

Забележка:
Можете да извършвате действия само в една бройна система, ако имате различни бройни системи, първо преведете всички числа в една бройна система
Ако работите с бройна система, чиято основа е по-голяма от 10 и сте срещнали буква в примера, мислено я заменете с число в десетичната система, изпълнете необходимите операции и преведете резултата обратно в оригиналната бройна система

Допълнение:
Всички помнят как начално училищени учеха да се сгъваме в колона, разряд с разряд. Ако добавянето в разряда доведе до число, по-голямо от 9, изваждаме 10 от него, резултатът се записва в отговора и 1 се добавя към следващото разреждане. От това можем да формулираме правило:

По-удобно е да сгънете "колона"
Събирайки бит по бит, ако цифрата в цифрата > е по-голяма от най-голямата цифра от азбуката на дадената бройна система, изваждаме основата на бройната система от това число.
Резултатът се записва в желаната категория
Добавете единица към следващата цифра

Пример:

Добавете 1001001110 и 100111101 в двоична система

1001001110

100111101

1110001011

Отговор: 1110001011

Добавете F3B и 5A в шестнадесетичен формат

FE0

Отговор: FE0

изваждане: Всеки си спомня как в началното училище ни учеха да изваждаме колона, разряд от разряд. Ако при изваждане в цифрата се получи число, по-малко от 0, тогава ние „взехме назаем“ единица от най-високата цифра и добавихме 10 към желаното число, извадихме желаното число от новото число. От това можем да формулираме правило:

Извадете по-удобно "колона"
Изваждане побитово, ако цифрата е в цифрата< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
Изваждане

Пример:

Извадете 100111101 от 1001001110 в двоична система

1001001110

100111101

100010001

Отговор: 100010001

Извадете шестнадесетично 5A от F3B

D96

Отговор: D96

Най-важното е, че не забравяйте, че имате на ваше разположение само номерата на тази бройна система, просто не забравяйте за преходите между битовите термини.
Умножение:

Умножението в други бройни системи се извършва точно по същия начин, както използвахме за умножение.

По-удобно е да се умножава по "колона"
Умножението във всяка бройна система следва същите правила като в десетичната. Но можем да използваме само азбуката, дадена системаразчитане

Пример:

Умножете 10111 по 1101 в двоична система

10111

1101

10111

100101011

Отговор: 100101011

Умножете F3B по A в шестнадесетичен формат

F3B

984E

Отговор: 984E

Най-важното е, че не забравяйте, че имате на ваше разположение само номерата на тази бройна система, просто не забравяйте за преходите между битовите термини.

дивизия:

Разделянето в други бройни системи се извършва точно по същия начин, както сме свикнали да разделяме.

По-удобно е да споделяте в „колона“
Разделянето във всяка бройна система се извършва по същите правила като в десетичната. Но можем да използваме само азбуката, дадена от числовата система

Пример:

Разделете 1011011 на 1101 в двоична система

Разделям F3 Б до номер 8 в шестнадесетична бройна система

НЕПОЗИЦИОНЕН

Непозиционни бройни системи

Непозиционните бройни системи се появяват исторически първи. В тези системи стойността на всеки цифров символ е постоянна и не зависи от позицията му. Най-простият случай на непозиционна система е единична, за която се използва един символ за обозначаване на числа, като правило това е линия, понякога точка, от която винаги се поставя числото, съответстващо на определеното число:

1 - |
2 - ||
3 - ||| и т.н.

Така че този единствен знак има значение единици, от което чрез последователно събиране се получава търсеното число:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Модификация на системата от единици е система с основа, в която има символи не само за обозначаване на единицата, но и за степените на основата. Например, ако числото 5 се вземе като основа, тогава ще има допълнителни знаци, които да обозначават 5, 25, 125 и т.н.

Пример за такава система с основа 10 е древноегипетската система, възникнала през втората половина на третото хилядолетие пр.н.е. Тази система имаше следните йероглифи:

шест - единици,
дъга - десетки,
палмови листа - стотици,
лотосов цвят - хиляди.

Числата са получени чрез просто събиране, редът може да бъде произволен. Така че, за да обозначат например числото 3815, те нарисуваха три лотосови цветя, осем палмови листа, една дъга и пет стълба. По-сложни системи с допълнителни знаци - старите гръцки, римски. Римският също използва елемент от позиционната система - добавя се голямо число пред по-малко, изважда се по-малко пред по-голямо: IV \u003d 4, но VI \u003d 6, този метод, обаче се използва изключително за обозначаване на числата 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 и техните производни чрез събиране.

Съвременните гръцки и староруските системи използват 27 букви от азбуката като числа, където обозначават всяко число от 1 до 9, както и десетки и стотици. Този подход направи възможно записването на числа от 1 до 999 без повтаряне на цифри.

В старата руска система за обозначаване на големи числа са използвани специални рамки около числата.

Непозиционната система за номериране все още се използва почти навсякъде като словесна система за номериране. Системите за вербално номериране са тясно свързани с езика и техните общи елементи се отнасят главно до общите принципи и имена на големи числа (трилион и повече). Общите принципи, залегнали в основата на съвременната словесна номерация, предполагат образуването на обозначение чрез добавяне и умножаване на значенията на уникалните имена.

Събирането и изваждането се извършват ефективно в оригиналната бройна система. Методът за преобразуване на всяко число в 10-десетична система, извършване на действие в нея и след това преобразуването му обратно е значително по-дълъг и често води до грешки.

При добавяне на числав произволна позиционна бройна система с основа Рвъв всяка цифра се добавят цифрите на термините и цифрата, прехвърлена от съседната най-малко значима цифра, ако има такава. В този случай трябва да се има предвид, че ако при събиране на числа се получи число, което е по-голямо или равно на R,след това го представяме във формата p*k + b, където kО N –брой единици за пренасяне към следващата цифра 0 ≤ b ≤ p - 1

При добавяне и изваждане на двоични числа е достатъчно да знаете правилата за добавяне на двоични числа (таблица за двоично добавяне):

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

+ 1101 2

1 +1 = 2 = 1

0 +0 + 1 = 1

1 + 1 = 2 = 1 *2 + 0 ("1" се прехвърля към най-значимия бит)

1 + 0 + 1 = 2 = 1 *2 + 0 ("1" се прехвърля към най-значимия бит)

5 +6 = 11 = 1 *8 + 3 ("1" се прехвърля към най-значимата цифра)

4 +1 + 1 = 6

6 + 3 = 9 = 1 *8 + 1 ("1" се прехвърля към най-значимата цифра)

7 + 0 + 1 = 8 = 1 *8 + 0 ("1" се прехвърля към най-значимия бит)

+ E836 16

10 +6 = 16 = 1 *16 + 0 ("1" се прехвърля към най-значимия бит)

15 +3 + 1 = 19 = 1 *16 + 3 ("1" се прехвърля към най-значимата цифра)

9 + 8 + 1 = 18 = 1 *16 + 2 ("1" се прехвърля към най-значимата цифра)

0 + 14 + 1 = 15 = F

При изваждане на числав Рцифрите се изваждат малко по малко. Ако в разглежданата цифра е необходимо да се извади по-голямо число от по-малко число, тогава единица се заема в следващата (най-високата цифра). Заеманата единица е Рединици от тази цифра (по подобен начин, когато заемаме единица в десетичната бройна система, тогава заетата единица е 10.) За двоичната бройна система, заетата единица = 2 10 = 10 2, за осмичната бройна система, заетата единица = 8 10 = 10 8, за шестнадесетичната система смятане заета единица = 16 10 = 10 16 .

Примери: Точките в примерите с изваждане отбелязват цифрите, от които трябва да заемат.

2 – 1 = 1 (защото 0< 1 пришлось занять из соседнего разряда)

0 остана в тази категория, отново трябваше да взема назаем от старшата категория: 2 – 1 = 1

0 остават в тази категория

8 + 5 - 6 = 7 (защото 5< 6 пришлось занять из соседнего разряда)

8 + 0 - 4 \u003d 4 (след като го взех, 0 остана в тази категория)

16 + 6 - 10 \u003d 12 \u003d C 16 (взето от следващата категория)

16 + 2 - 15 \u003d 3 (2 останаха в тази категория, взети от следващата категория)

16 + 7 - 9 \u003d 14 \u003d E 16

D 16 остана в тази категория

Понякога при изваждане е необходимо да заемете единица през няколко цифри, тъй като има нули в ред или в няколко съседни цифри в ред. В този случай трябва да се има предвид, че в тези цифри на мястото на нулите, след като бъдат заети, ще има „последната цифра“ от бройната система, в която се записва намаленото, т.е. 1 за двоичен, 7 за осмичен и F за шестнадесетичен.

1 1 2 7 7 8 F F 16

1000 2 1000 8 1000 16

11 2 11 8 AD 16

101 2 767 8 F53 16

Коментирайте. Когато извършвате аритметични операции с числа, които са в различни бройни системи, е необходимо да преведете числата в една и съща система и едва след това да извършите действието. Разбира се, можете да изберете десетичната система като такава бройна система, но в случай, че има много цифри в числата, такъв превод ще бъде трудоемък. Например, когато преобразувате числото 123456789ABCDEF 16 в десетично число, ще трябва да изчислите 16 на степени до четиринадесета.

Умножението в позиционната бройна система е доста сложна операция, следователно е по-надеждно да се извърши умножение в 10-та система с предварителен и окончателен превод към оригиналната система. Умножението по 2 обаче може да бъде представено като сума. Например: 2*T, където T = 315 8

2 * 315 8 = 315 8

Когато умножавате по 7 10, 8 10, 9 10, можете да използвате преобразуването в десетичната система. Но тъй като десетичното число 8 е равно на осмичното число 10 (8 10 \u003d 10 8), тогава умножението може да бъде заменено с умножение по десет, последвано от изваждане или добавяне.

1) 8 10 * 6271 8 = 10 8 * 6271 8 = 62710 8

2) 7 10 * 6271 8 = (8 10 – 1 10) * 6271 8 = (10 8 – 1 8) * 6271 8 =

3) 9 10 * 6271 8 = (8 10 + 1 10) * 6271 8 = (10 8 + 1 8) * 6271 8 =

Коментирайте. Ако вторият фактор е представен в двоична или шестнадесетична система, той трябва първо да бъде преобразуван в осмична бройна система, например: 7 10 * A3C5 16.

Първо преобразувайте A3C5 16 в осмично, като използвате метода на тетрадата и триадата и след това направете умножението.

A3C5 16 \u003d 1010 0011 1100 0101 2 \u003d 001 010 001 111 000 101 2 \u003d 121705 8.

7 10 * 121705 8 = (8 10 – 1 10) * 121705 8 = (10 8 – 1 8) * 121705 8 =

121705 8

Когато умножавате по 15 10, 16 10, 17 10, можете да използвате факта, че десетичното число 16 е равно на шестнадесетичното число 10 (16 10 \u003d 10 16). В този случай, както и в предишния, умножението може да бъде заменено с умножение по десет, последвано от изваждане или събиране.

1) 16 10 * A6D5 16 = 10 16 * A6D5 16 = A6D50 16

2) 15 10 * A6D5 16 = (16 10 - 1 10) * A6D5 16 = (10 16 - 1 16) * A6D5 16 =

3) 17 10 * A6D5 16 = (16 10 + 1 10) * A6D5 16 = (10 16 + 1 16) * A6D5 16 =

Коментирайте. Ако вторият фактор е представен в двоична или осмична система, той трябва първо да бъде преобразуван в шестнадесетична бройна система, например: 17 10 * 7154 8 .

Първо преобразувайте 7154 8 в шестнадесетичен, като използвате метода на тетрада и триада, и след това умножете.

7154 8 = 111 001 101 100 2 = 1110 0110 1100 2 = E6C 16 .

17 10 * E6C 16 = (16 10 + 1 10) * E6C 16 = (10 16 + 1 16) * E6C 16 =

БРОЙНИ СИСТЕМИ

Главна информация

Кратък преглед. Основни термини и понятия

Бройната система е начин за представяне на всяко число с помощта на азбука от символи, наречени цифри.

Има много бройни системи, които могат да бъдат разделени на 2 вида: непозиционни и позиционни.

непозиционна система.Пример за това е системата от римски цифри. В него стойността на всеки знак е постоянна, независимо къде се намира символът в числото.

I, IX, XXI, LXI, XLII - символът “I” във всички дадени числа кодира числото едно.

позиционни системи.Пример за това е арабската система.В позиционната система стойността на всяка цифра (символ) зависи от мястото в числото, където е написана тази цифра (символ). Ще проверим това, използвайки пример от възприетата от нас десетична система, като извършим идентични преобразувания на числото.

5555=5000+500+50+5. И така, числото 5 означава 5000, 500, 50 и 5.

В десетичната система 10 цифри (знаци) се използват за записване на числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Броят на цифрите (знаците), използвани в системата, се нарича негов основа, следователно нашата система Основата е 10, поради което се нарича десетична. Нека направим преобразуването на десетичните числа отново

5685=5*1000+6*100+8*10+5=5*10 3 +6*10 2 +8*10 1 +5*10 0

Виждаме, че числото може да бъде написано с термините, в които присъства основата на системата. Повдига се на степен, по-малка от порядъка на цифрата в числото отдясно наляво.

В допълнение към десетичната система има някои други бройни системи. Например 12-десетичният знак е бил използван в Русия до 1917 г. Все още са запазени изразите "дузина", "проклета дузина". Все още се използва в паричните единици на някои страни. На часовника има 12 числа. 12 месеца в годината и т.н.

Възможността за използване на различни бройни системи се основава на факта, че върху носителя на информация (хартия, папирус) могат да бъдат написани много различни символи и да им се придаде определено значение.

Начини за запис на информация в компютърните технологии

Понастоящем няма широки възможности за запис на информация върху информационни носители, свързани с компютърните технологии. За запис на информация в компютърната технология се използват 2 стабилни състояния на различни устройства.

На флопи диск или твърд диск, който може да си представим като състоящ се от набор от елементарни магнити, тези магнити могат да бъдат обърнати със северния или южния полюс към субстрата. Точката на диска може или не може да отразява светлина. Тежка хартиена карта може или не може да има дупка на определено място. Една електрическа верига може или не може да провежда ток. Електрическата крушка може да свети или да не свети. На едно такова състояние може да бъде присвоена стойност 1, на второто 0. Така на един елемент от паметта може да се запише 0 или 1.

Това минимално количество информация, което може да бъде записано на такъв носител, се нарича малко.

Исторически 8 носителя за съхранение са били комбинирани в една клетка на паметта и е наричано количеството информация, записана в тях байт.По този начин 1 байт = 8 бита.
В един байт можете да запишете 2 8 = 256 различни комбинации от двоични числа, тоест числа, състоящи се само от две цифри 0 и 1: 00000000, 00000001, 00000010, 00000011. . . 11111110, 11111111.

Ако погледнете няколко клетки от паметта, тогава в тях ще бъдат записани много нули и единици. Адресите на клетките на паметта също се представят в двоичен вид. За да улесним работата на човек с този вид информация, решихме да работим с нея по правилата на 2-ра бройна система. Числата на тази система могат да бъдат преведени в други системи, които са по-познати и визуални за човек: 8-измерна, 16-цифрена, 10-цифрена.

Таблица 1.1.2

Десетична система	Двоична система	Осмична система	Шестнадесетична система










			А
			б
			° С
			д
			д
			Е

Таблица 1.1.2 показва кои знаци се използват като числа в различните системи. Ако се използва последният валиден знак, тогава 0 се записва в най-младшия бит, а 1 в най-значимия.

Аритметични действия в бройни системи

Правилата за извършване на аритметични операции в десетичната бройна система се запазват и за другите позиционни бройни системи.

Допълнение

Първо събираме единици, след това десетици и т.н. докато достигнем най-високото ниво. В същото време винаги помним, че при добавяне на числа във всяка цифра се получава сума, която е по-голяма от основата, тогава трябва да направим прехвърляне към следващата цифра.

Например 173, 261 8

16, 35 8

Осмичен с.с.